Aritmatika Modular dan Link Download File Referensi
https://eu2.contabostorage.com/00f3241116844f24b628f46d81abb929:st1/folder8/8031/1656355561_aritmatika_modular___Matematika.pdf
2026-05-31 15:05:06 - Admin
<style> body { font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; line-height: 1.6; margin: 0; padding: 0; background-color: #f9f9f9; color: #333; } header { background-color: #4CAF50; color: white; padding: 20px; text-align: center; } nav { background-color: #e2e2e2; padding: 10px; } nav a { margin: 0 15px; text-decoration: none; color: #333; } main { max-width: 800px; margin: 30px auto; padding: 0 20px; background-color: white; box-shadow: 0 0 5px rgba(0,0,0,0.1); } h2 { color: #4CAF50; margin-top: 30px; } table { border-collapse: collapse; width: 100%; margin: 15px 0; } th, td { border: 1px solid #ddd; padding: 8px; text-align: center; } th { background-color: #f2f2f2; } code { background-color: #f4f4f4; padding: 2px 4px; font-family: Consolas, monospace; } .example { background-color: #f1f8ff; border-left: 4px solid #4CAF50; padding: 10px; margin: 15px 0; } </style> <header> <h1>Aritmatika Modular</h1> <p>Dasar-dasar, sifat-sifat penting, dan contoh penerapannya</p> </header> <nav> <a href="#definisi">Definisi</a> <a href="#sifat">Sifat</a> <a href="#operasi">Operasi</a> <a href="#aplikasi">Aplikasi</a> <a href="#latihan">Latihan</a> </nav> <main> <section id="definisi"> <h2>Definisi Aritmatika Modular</h2> <p>Aritmatika modular, atau sering disebut mod (modulus), adalah sistem perhitungan di mana angka-angka diputar kembali setelah mencapai nilai tertentu. Nilai tersebut disebut <strong>modulus</strong> (biasanya dilambangkan dengan <code>m</code>). Dua bilangan <code>a</code> dan <code>b</code> disebut kongruen modulo <code>m</code> bila selisihnya habis dibagi <code>m</code>:</p> <p style="text-align:center;"><code>a b (mod m)</code></p> <p>Contoh: <code>17 5 (mod 12)</code> karena 175 = 12, dan 12 habis dibagi 12.</p> </section> <section id="sifat"> <h2>Sifat-sifat Penting</h2> <ul> <li><strong>Refleksif:</strong> <code>a a (mod m)</code></li> <li><strong>Simetris:</strong> Jika <code>a b (mod m)</code>, maka <code>b a (mod m)</code></li> <li><strong>Transitif:</strong> Jika <code>a b (mod m)</code> dan <code>b c (mod m)</code>, maka <code>a c (mod m)</code></li> <li><strong>Penjumlahan:</strong> <code>(a + b) (c + d) (mod m)</code> bila <code>a c (mod m)</code> dan <code>b d (mod m)</code></li> <li><strong>Perkalian:</strong> <code>(ab) (cd) (mod m)</code> bila <code>a c (mod m)</code> dan <code>b d (mod m)</code></li> <li><strong>Eksponensial:</strong> <code>a^k b^k (mod m)</code> bila <code>a b (mod m)</code></li> </ul> </section> <section id="operasi"> <h2>Operasi Dasar</h2> <h3>Penjumlahan</h3> <p>Misalkan <code>a = 7</code>, <code>b = 15</code>, dan <code>m = 10</code>. Maka:</p> <div class="example"> <p><code>(7 + 15) mod 10 = 22 mod 10 = 2</code></p> <p>Jadi, <code>7 + 15 2 (mod 10)</code>.</p> </div> <h3>Pengurangan</h3> <div class="example"> <p><code>(15 - 7) mod 10 = 8 mod 10 = 8</code></p> <p>Jika hasilnya negatif, tambahkan modulus hingga positif.</p> <p>Contoh: <code>(3 - 7) mod 10 = -4 mod 10 = 6</code>.</p> </div> <h3>Perkalian</h3> <div class="example"> <p><code>(715) mod 10 = 105 mod 10 = 5</code></p> </div> <h3>Invers Modular</h3> <p>Invers perkalian dari <code>a</code> modulo <code>m</code> adalah bilangan <code>a</code> yang memenuhi <code>aa 1 (mod m)</code>. Invers ada bila <code>gcd(a,m)=1</code>. Contoh: invers 3 modulo 7 adalah 5, karena <code>35 = 15 1 (mod 7)</code>.</p> <h3>Algoritma Euclid</h3> <p>Digunakan untuk menghitung <code>gcd(a,m)</code> dan menemukan invers modular dengan Algoritma Euclid Terbalik.</p> </section> <section id="aplikasi"> <h2>Aplikasi Aritmatika Modular</h2> <p>Berbagai bidang memanfaatkan konsep modular, antara lain:</p> <ul> <li><strong>Kriptografi</strong> RSA dan sistem enkripsi lainnya bergantung pada operasi modulo besar.</li> <li><strong>Clock arithmetic</strong> Jam 12jam merupakan contoh seharihari dari modulus 12.</li> <li><strong>Pengujian keutuhan data</strong> Checksum CRC menggunakan operasi modulo2.</li> <li><strong>Algoritma hashing</strong> Menyebarkan nilai ke dalam tabel hash dengan <code>h(k) = k mod m</code>.</li> <li><strong>Teori graf</strong> Warnawarna pada graf dapat dipelajari dengan teknik kombinatorial berbasis modul.</li> </ul> <h3>Contoh Kriptografi RSA Sederhana</h3> <p>Misalkan pilih dua bilangan prima <code>p = 5</code> dan <code>q = 11</code>. Hitung <code>n = pq = 55</code> dan <code>(n) = (p1)(q1) = 40</code>. Pilih <code>e = 3</code> (gcd(3,40)=1). Cari <code>d</code> sehingga <code>ed 1 (mod 40)</code>. Dengan algoritma Euclid, <code>d = 27</code>. Maka kunci publik <code>(e,n) = (3,55)</code> dan kunci privat <code>(d,n) = (27,55)</code>. Enkripsi suatu pesan <code>m</code> menjadi <code>c = m^e mod n</code>, dekripsi <code>m = c^d mod n</code>.</p> </section> <section id="latihan"> <h2>Latihan Soal</h2> <ol> <li>Hitung <code>23 + 17 (mod 5)</code>.</li> <li>Temukan invers 9 modulo 26.</li> <li>Jika <code>a 4 (mod 9)</code> dan <code>b 7 (mod 9)</code>, tentukan <code>ab (mod 9)</code>.</li> <li>Sebuah jam menunjukkan pukul 7. Setelah berapa jam lagi jam akan kembali menunjuk angka 7?</li> <li>Berapa nilai <code>2^10 mod 13</code>?</li> </ol> <h3>Jawaban Singkat</h3> <ul> <li>1. <code>(23+17) = 40 40 mod 5 = 0</code></li> <li>2. Invers 9 modulo 26 adalah 3, karena <code>93 = 27 1 (mod 26)</code>.</li> <li>3. <code>47 = 28 28 mod 9 = 1</code></li> <li>4. Karena jam 12jam, selisihnya 12 jam. Jadi setelah 12 jam jam kembali ke 7.</li> <li>5. <code>2^10 = 1024 1024 mod 13 = 9</code></li> </ul> </section> </main>