CSemigrup (C0Semigroup) dalam Analisis Fungsional
Definisi
Csemigrup, atau strongly continuous semigroup, adalah kumpulan operator linear yang memenuhi tiga kondisi utama pada ruang Banach X:
- Identitas pada waktu nol:
T(0)=I, dimanaIadalah operator identitas. - Semigrup:
T(t+s)=T(t)T(s)untuk semuat,s 0. - Kontinuitas kuat: untuk setiap
xX, fungsitT(t)xkontinu pada[0,)dengan nilai dit=0sama denganx.
Notasi umum: {T(t)}_{t0} menandakan sebuah Csemigrup pada X.
SifatSifat Penting
Generator Semigrup
Setiap Csemigrup memiliki generator A yang didefinisikan oleh limit
A x = lim_{h0} (T(h)x x)/h , xD(A) dengan domain D(A) berisi semua x dimana limit di atas ada. Generator berperan sebagai turunan semigrup dan biasanya merupakan operator tak terbatas.
Hukum Resolvent
Untuk dengan Re > (dengan suatu konstanta pertumbuhan), resolvent R(,A) = (I A)^{-1} ada dan R(,A) 1/(Re ).
Estimasi Pertumbuhan
Ada bilangan M 1 dan sehingga T(t) M e^{ t} untuk semua t 0. Jika M=1 kita menyebut semigrup tersebut kontraktif.
Keterkaitan dengan Persamaan Diferensial
Jika x'(t)=A x(t) dengan x(0)=x, solusi kuat dapat ditulis x(t)=T(t)x. Karena itu Csemigrup menjadi alat utama dalam mempelajari evolusi waktu pada persamaan diferensial parsial (PDE).
ContohContoh CSemigrup
| No. | Ruang | Operator | Semigrup |
|---|---|---|---|
| 1 | L() | (Laplacian) | T(t)f = G_t * f, G_t kernel Gaussian |
| 2 | C([0,1]) | /x (diferensial pertama) | T(t)f(x)=f(x+t) dengan refleksi di batas |
| 3 | Diagonal A e_n = _n e_n | T(t)e_n = e^{_n t} e_n | |
| 4 | L() | Transport A f = c f' | T(t)f(x)=f(x ct) |
Contoh pertama (semigrup panas) merupakan contoh klasik yang menampilkan regularisasi efek difusi; fungsi yang awalnya tidak halus menjadi lebih halus seiring bertambahnya t.
Aplikasi dalam Matematika dan Fisika
- PDE evolusioner: Persamaan panas, persamaan gelombang teredam, dan persamaan NavierStokes dapat direpresentasikan melalui semigrup yang dihasilkan oleh operator diferensial.
- Teori Markov: Semigrup positif pada ruang fungsi terintegrasi menggambarkan evolusi proses stokastik (misalnya semigrup transisi pada proses Poisson).
- Kontrol optimal: Dalam masalah kontrol lineartimeinvariant, solusi persamaan Riccati berkaitan dengan semigrup yang dihasilkan oleh operator sistem.
- Quantum mechanics: Semigrup kontraktif pada ruang Hilbert (semigrup kontraktif satuparameter) muncul dalam teori semigroup vonNeumann yang memodelkan evolusi terbuka.
Referensi Utama
- Pazy, A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer, 1983.
- Engel, K.-J., Nagel, R. OneParameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Springer, 2000.
- Hille, E., Phillips, R.S. Functional Analysis and SemiGroups. American Mathematical Society, 1957.
- Arendt, W., et al. Vectorvalued Laplace Transforms and CSemigroups. Birkhuser, 2011.
