C0 Semigrup dan Link Download File Referensi
https://eu2.contabostorage.com/00f3241116844f24b628f46d81abb929:st1/folder8/8052/1656356821_slide_Item_Download_2022-06-27_19-07-01___Matematika.pdf
2026-05-31 16:45:08 - Admin
<style> body { font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; line-height: 1.6; margin: 0; padding: 0 20px; background-color: #f9f9f9; color: #333; } h1, h2, h3 { color: #2c3e50; } nav { background-color: #e0e0e0; padding: 10px; margin-bottom: 20px; } nav a { margin-right: 15px; text-decoration: none; color: #2c3e50; } section { margin-bottom: 30px; } pre { background:#fff; border:1px solid #ddd; padding:10px; overflow-x:auto; } table { width:100%; border-collapse:collapse; margin-top:10px; } th, td { border:1px solid #ccc; padding:8px; text-align:left; } th { background:#f0f0f0; } </style><nav> <a href="#definisi">Definisi</a> <a href="#sifat">SifatSifat</a> <a href="#contoh">Contoh</a> <a href="#aplikasi">Aplikasi</a> <a href="#referensi">Referensi</a></nav><h1>CSemigrup (C0Semigroup) dalam Analisis Fungsional</h1><section id="definisi"> <h2>Definisi</h2> <p> Csemigrup, atau <em>strongly continuous semigroup</em>, adalah kumpulan operator linear yang memenuhi tiga kondisi utama pada ruang Banach <em>X</em>: </p> <ol> <li><strong>Identitas pada waktu nol</strong>: <code>T(0)=I</code>, dimana <code>I</code> adalah operator identitas.</li> <li><strong>Semigrup</strong>: <code>T(t+s)=T(t)T(s)</code> untuk semua <code>t,s 0</code>.</li> <li><strong>Kontinuitas kuat</strong>: untuk setiap <code>xX</code>, fungsi <code>tT(t)x</code> kontinu pada <code>[0,)</code> dengan nilai di <code>t=0</code> sama dengan <code>x</code>. </li> </ol> <p> Notasi umum: <code>{T(t)}_{t0}</code> menandakan sebuah Csemigrup pada <em>X</em>. </p></section><section id="sifat"> <h2>SifatSifat Penting</h2> <h3>Generator Semigrup</h3> <p> Setiap Csemigrup memiliki <strong>generator</strong> <code>A</code> yang didefinisikan oleh limit </p> <pre>A x = lim_{h0} (T(h)x x)/h , xD(A)</pre> <p> dengan domain <code>D(A)</code> berisi semua <code>x</code> dimana limit di atas ada. Generator berperan sebagai turunan semigrup dan biasanya merupakan operator tak terbatas. </p> <h3>Hukum Resolvent</h3> <p> Untuk <code></code> dengan <code>Re > </code> (dengan <code></code> suatu konstanta pertumbuhan), resolvent <code>R(,A) = (I A)^{-1}</code> ada dan <code>R(,A) 1/(Re )</code>. </p> <h3>Estimasi Pertumbuhan</h3> <p> Ada bilangan <code>M 1</code> dan <code></code> sehingga <code>T(t) M e^{ t}</code> untuk semua <code>t 0</code>. Jika <code>M=1</code> kita menyebut semigrup tersebut <em>kontraktif</em>. </p> <h3>Keterkaitan dengan Persamaan Diferensial</h3> <p> Jika <code>x'(t)=A x(t)</code> dengan <code>x(0)=x</code>, solusi kuat dapat ditulis <code>x(t)=T(t)x</code>. Karena itu Csemigrup menjadi alat utama dalam mempelajari evolusi waktu pada persamaan diferensial parsial (PDE). </p></section><section id="contoh"> <h2>ContohContoh CSemigrup</h2> <table> <thead> <tr><th>No.</th><th>Ruang</th><th>Operator</th><th>Semigrup</th></tr> </thead> <tbody> <tr> <td>1</td> <td>L()</td> <td> (Laplacian)</td> <td><code>T(t)f = G_t * f</code>, <code>G_t</code> kernel Gaussian</td> </tr> <tr> <td>2</td> <td>C([0,1])</td> <td>/x (diferensial pertama)</td> <td><code>T(t)f(x)=f(x+t)</code> dengan refleksi di batas</td> </tr> <tr> <td>3</td> <td></td> <td>Diagonal <code>A e_n = _n e_n</code></td> <td><code>T(t)e_n = e^{_n t} e_n</code></td> </tr> <tr> <td>4</td> <td>L()</td> <td>Transport <code>A f = c f'</code></td> <td><code>T(t)f(x)=f(x ct)</code></td> </tr> </tbody> </table> <p> Contoh pertama (semigrup panas) merupakan contoh klasik yang menampilkan regularisasi efek difusi; fungsi yang awalnya tidak halus menjadi lebih halus seiring bertambahnya <code>t</code>. </p></section><section id="aplikasi"> <h2>Aplikasi dalam Matematika dan Fisika</h2> <ul> <li><strong>PDE evolusioner</strong>: Persamaan panas, persamaan gelombang teredam, dan persamaan NavierStokes dapat direpresentasikan melalui semigrup yang dihasilkan oleh operator diferensial. </li> <li><strong>Teori Markov</strong>: Semigrup positif pada ruang fungsi terintegrasi menggambarkan evolusi proses stokastik (misalnya semigrup transisi pada proses Poisson). </li> <li><strong>Kontrol optimal</strong>: Dalam masalah kontrol lineartimeinvariant, solusi persamaan Riccati berkaitan dengan semigrup yang dihasilkan oleh operator sistem. </li> <li><strong>Quantum mechanics</strong>: Semigrup kontraktif pada ruang Hilbert (semigrup kontraktif satuparameter) muncul dalam teori semigroup vonNeumann yang memodelkan evolusi terbuka. </li> </ul></section><section id="referensi"> <h2>Referensi Utama</h2> <ol> <li>Pazy, A. <em>Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations</em>. Springer, 1983.</li> <li>Engel, K.-J., Nagel, R. <em>OneParameter Semigroups for Linear Evolution Equations</em>. Springer, 2000.</li> <li>Hille, E., Phillips, R.S. <em>Functional Analysis and SemiGroups</em>. American Mathematical Society, 1957.</li> <li>Arendt, W., et al. <em>Vectorvalued Laplace Transforms and CSemigroups</em>. Birkhuser, 2011.</li> </ol></section>