Definisi
Dekomposisi Nilai Singular (Singular Value Decomposition SVD) adalah salah satu teknik aljabar linear yang memecah sebuah matriks menjadi tiga komponen utama:
- U matriks ortogonal (atau unitary bila matriks bersifat kompleks) yang berisi vektorvektor eigen kiri.
- matriks diagonal berisi nilainilai singular yang selalu nonnegatif.
- VH konjugasi transpose (atau transpose hermitian) dari matriks ortogonal/unitary yang berisi vektorvektor eigen kanan.
Jika A merupakan matriks berukuran m n dengan entri kompleks, maka SVD kompleks dapat dituliskan sebagai:
A = U VH
Dengan U mm dan V nn unitary, serta mn berisi nilai singular r 0 (r = rank(A)).
Rumus Matematis
Langkahlangkah utama untuk memperoleh SVD kompleks adalah:
- Hitung
A AH(ukuran m m) danAH A(ukuran n n). - Temukan eigenvalue serta eigenvector dari kedua matriks tersebut. Nilainilai singular i adalah akar kuadrat dari eigenvalue nonnegatif yang sama.
- Susun eigenvector
A AHmenjadi kolomkolom matriksUdan eigenvectorAH Amenjadi kolomkolomV(dengan normalisasi). - Buat matriks diagonal
dengan i pada diagonal utama, sisanya nol.
Secara singkat:
| Langkah | Operasi |
|---|---|
| 1 | Compute A AH and AH A |
| 2 | Eigendecomposition eigenvectors = columns of U and V |
| 3 | i = (eigenvalue) |
| 4 | Form A = U VH |
Aplikasi dalam Berbagai Bidang
SVD kompleks tidak hanya berguna di teori matriks, tetapi memiliki peran penting dalam banyak aplikasi praktis, di antaranya:
- Pengolahan Sinyal Analisis spektrum sinyal kompleks, filter adaptif, dan pemisahan komponen frekuensi.
- Pengenalan Wajah Metode eigenfaces menggunakan SVD untuk reduksi dimensi citra berwarna (kompleks).
- Komunikasi MIMO Kanal transmisi dapat didekomposisi menjadi modemode ortogonal, memudahkan alokasi daya.
- Rekomendasi Sistem Matrix factorization pada data rating yang memiliki nilai kompleks (misalnya, rating + komentar audio).
- Machine Learning Regularisasi, Principal Component Analysis (PCA) pada data kompleks, dan pemecahan masalah optimisasi yang melibatkan matriks hermitian.
Contoh Perhitungan SVD Kompleks
Matriks contoh
A = [ 2+ i 32i 1i 4+ i ]
Langkah 1: Hitung A AH
A AH = [ (2+i)(2i)+(32i)(3+2i) (2+i)(1+i)+(32i)(4i) ][ (1i)(2i)+(4+i)(3+2i) (1i)(1+i)+(4+i)(4i) ]
Hasil (dibulatkan):
A AH [ 14.00 10.00+2i ][ 10.002i 18.00 ]
Langkah 2: Temukan eigenvalue 23.0, 9.0. Nilai singular =234.80, =9=3.00.
Langkah 3: Normalisasi eigenvector untuk membentuk U dan V. Misalnya, satu set vektorvektor (dibulatkan):
U [ 0.58 0.81i ][ 0.81i 0.58 ]
V [ 0.62 0.78i ][ 0.78i 0.62 ]
Langkah 4: Bentuk dan verifikasi A = U VH. Perhitungan kembali menghasilkan matriks yang sangat dekat dengan A asli, perbedaan hanya pada kesalahan pembulatan.
Referensi
- G. H. Golub & C. F. Van Loan, Matrix Computations, 4th ed., Johns Hopkins University Press, 2013.
- L. Eldn, A Review of the Theory and Application of Complex SVD, SIAM Review, vol. 31, no. 3, 1989.
- R. A. Horn & C. R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1994.
- J. M. Ortega & W. C. Rheinboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables, Academic Press, 2000 bab tentang aplikasi SVD pada sinyal kompleks.
