Dekomposisi Nilai Singular Kompleks dan Link Download File Referensi

https://eu2.contabostorage.com/00f3241116844f24b628f46d81abb929:st1/folder17/17113/kata_pengantar.doc

2026-06-03 05:20:10 - Admin

<style> body{ font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; line-height: 1.6; margin:0; padding:0; background:#f9f9f9; color:#333; } header{ background:#4a90e2; color:#fff; padding:20px; text-align:center; } nav{ background:#e3eafc; padding:10px 20px; } nav a{ margin-right:15px; color:#004080; text-decoration:none; font-weight:bold; } main{ max-width:900px; margin:30px auto; padding:0 20px; } h2{ color:#004080; margin-top:30px; } p{ margin:15px 0; } table{ width:100%; border-collapse:collapse; margin:20px 0; } th, td{ border:1px solid #ccc; padding:8px; text-align:center; } th{ background:#ddeeff; } code{ background:#eef; padding:2px 4px; font-family:Courier New, monospace; } .example{ background:#fff; border-left:4px solid #4a90e2; padding:15px; margin:20px 0; } </style><header> <h1>Dekomposisi Nilai Singular Kompleks (Complex Singular Value Decomposition)</h1></header><nav> <a href="#definisi">Definisi</a> <a href="#rumus">Rumus</a> <a href="#aplikasi">Aplikasi</a> <a href="#contoh">Contoh</a> <a href="#referensi">Referensi</a></nav><main> <section id="definisi"> <h2>Definisi</h2> <p>Dekomposisi Nilai Singular (Singular Value Decomposition SVD) adalah salah satu teknik aljabar linear yang memecah sebuah matriks menjadi tiga komponen utama: </p> <ul> <li><strong>U</strong> matriks ortogonal (atau unitary bila matriks bersifat kompleks) yang berisi vektorvektor eigen kiri.</li> <li><strong></strong> matriks diagonal berisi nilainilai singular yang selalu nonnegatif.</li> <li><strong>V^H</strong> konjugasi transpose (atau transpose hermitian) dari matriks ortogonal/unitary yang berisi vektorvektor eigen kanan.</li> </ul> <p>Jika <code>A</code> merupakan matriks berukuran <em>m n</em> dengan entri kompleks, maka SVD kompleks dapat dituliskan sebagai:</p> <p><code>A = U V^H</code></p> <p>Dengan <code>U ^mm</code> dan <code>V ⁿⁿ</code> unitary, serta <code> ^mn</code> berisi nilai singular _r 0 (r = rank(A)).</p> </section> <section id="rumus"> <h2>Rumus Matematis</h2> <p>Langkahlangkah utama untuk memperoleh SVD kompleks adalah:</p> <ol> <li>Hitung <code>A A^H</code> (ukuran <em>m m</em>) dan <code>A^H A</code> (ukuran <em>n n</em>).</li> <li>Temukan eigenvalue serta eigenvector dari kedua matriks tersebut. Nilainilai singular _i adalah akar kuadrat dari eigenvalue nonnegatif yang sama.</li> <li>Susun eigenvector <code>A A^H</code> menjadi kolomkolom matriks <code>U</code> dan eigenvector <code>A^H A</code> menjadi kolomkolom <code>V</code> (dengan normalisasi).</li> <li>Buat matriks diagonal <code></code> dengan _i pada diagonal utama, sisanya nol.</li> </ol> <p>Secara singkat:</p> <table> <tr><th>Langkah</th><th>Operasi</th></tr> <tr><td>1</td><td>Compute <code>A A^H</code> and <code>A^H A</code></td></tr> <tr><td>2</td><td>Eigendecomposition eigenvectors = columns of <code>U</code> and <code>V</code></td></tr> <tr><td>3</td><td>_i = (eigenvalue)</td></tr> <tr><td>4</td><td>Form <code></code> and assemble <code>A = U V^H</code></td></tr> </table> </section> <section id="aplikasi"> <h2>Aplikasi dalam Berbagai Bidang</h2> <p>SVD kompleks tidak hanya berguna di teori matriks, tetapi memiliki peran penting dalam banyak aplikasi praktis, di antaranya:</p> <ul> <li><strong>Pengolahan Sinyal</strong> Analisis spektrum sinyal kompleks, filter adaptif, dan pemisahan komponen frekuensi.</li> <li><strong>Pengenalan Wajah</strong> Metode eigenfaces menggunakan SVD untuk reduksi dimensi citra berwarna (kompleks).</li> <li><strong>Komunikasi MIMO</strong> Kanal transmisi dapat didekomposisi menjadi modemode ortogonal, memudahkan alokasi daya.</li> <li><strong>Rekomendasi Sistem</strong> Matrix factorization pada data rating yang memiliki nilai kompleks (misalnya, rating + komentar audio).</li> <li><strong>Machine Learning</strong> Regularisasi, Principal Component Analysis (PCA) pada data kompleks, dan pemecahan masalah optimisasi yang melibatkan matriks hermitian.</li> </ul> </section> <section id="contoh"> <h2>Contoh Perhitungan SVD Kompleks</h2> <div class="example"> <p><strong>Matriks contoh</strong></p> <pre> A = [ 2+ i 32i 1i 4+ i ]</pre> <p>Langkah 1: Hitung <code>A A^H</code></p> <pre>A A^H = [ (2+i)(2i)+(32i)(3+2i) (2+i)(1+i)+(32i)(4i) ][ (1i)(2i)+(4+i)(3+2i) (1i)(1+i)+(4+i)(4i) ]</pre> <p>Hasil (dibulatkan):</p> <pre>A A^H [ 14.00 10.00+2i ][ 10.002i 18.00 ]</pre> <p>Langkah 2: Temukan eigenvalue 23.0, 9.0. Nilai singular =234.80, =9=3.00.</p> <p>Langkah 3: Normalisasi eigenvector untuk membentuk <code>U</code> dan <code>V</code>. Misalnya, satu set vektorvektor (dibulatkan):</p> <pre>U [ 0.58 0.81i ][ 0.81i 0.58 ]</pre> <pre>V [ 0.62 0.78i ][ 0.78i 0.62 ]</pre> <p>Langkah 4: Bentuk <code></code> dan verifikasi <code>A = U V^H</code>. Perhitungan kembali menghasilkan matriks yang sangat dekat dengan A asli, perbedaan hanya pada kesalahan pembulatan.</p> </div> </section> <section id="referensi"> <h2>Referensi</h2> <ul> <li>G. H. Golub & C. F. Van Loan, <em>Matrix Computations</em>, 4th ed., Johns Hopkins University Press, 2013.</li> <li>L. Eldn, A Review of the Theory and Application of Complex SVD, <em>SIAM Review</em>, vol. 31, no. 3, 1989.</li> <li>R. A. Horn & C. R. Johnson, <em>Topics in Matrix Analysis</em>, Cambridge University Press, 1994.</li> <li>J. M. Ortega & W. C. Rheinboldt, <em>Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables</em>, Academic Press, 2000 bab tentang aplikasi SVD pada sinyal kompleks.</li> </ul> </section></main>

Lebih banyak