Apa Itu Produk Skalar?
Produk skalar, yang sering disebut dot product atau inner product, adalah operasi aljabar pada dua vektor yang menghasilkan sebuah nilai skalar (bukan vektor). Operasi ini menggabungkan informasi panjang (magnitudo) masingmasing vektor dengan sudut di antara keduanya.
Jika u dan v adalah dua vektor dalam ruang Euclidean tiga dimensi (atau dua dimensi), maka produk skalarnya didefinisikan sebagai:
di mana ialah sudut antara u dan v, |u| dan |v| adalah panjang (norma) masingmasing vektor.
Rumus Komponen
Jika vektor dituliskan dalam bentuk komponen, misalnya
maka produk skalar dapat dihitung dengan menambahkan hasil perkalian komponenkomponennya:
Untuk ruang dua dimensi rumusnya menjadi uv = uv + uv. Bentuk ini sangat berguna dalam perhitungan komputer karena tidak memerlukan sudut secara eksplisit.
Hubungan dengan Panjang Vektor
Jika v = u, maka
sehingga panjang vektor dapat diperoleh dengan akar kuadrat dari produk skalar dirinya:
Sifatsifat Produk Skalar
| Sifat | Deskripsi |
|---|---|
| Komutatif | uv = vu |
| Distributif terhadap penjumlahan | u(v + w) = uv + uw |
| Linier terhadap perkalian skalar | (cu)v = c(uv) = u(cv) |
| Positif definit | uu 0, dan uu = 0 hanya jika u = 0 |
Sifatsifat ini menjadikan produk skalar sebagai contoh yang paling sederhana dari sebuah inner product space.
Aplikasi Produk Skalar
Produk skalar muncul di hampir semua bidang yang memanfaatkan vektor. Berikut beberapa contoh penggunaan nyata:
- Fisika: menghitung kerja (work) sebuah gaya F yang bekerja sepanjang perpindahan s dengan rumus W = Fs.
- Grafika komputer: menentukan apakah dua permukaan saling menghadap (backface culling) dengan memeriksa tanda dot product antara normal permukaan dan vektor pandangan.
- Statistika: dalam regresi linier, perkalian dot antara vektor koefisien dan vektor fitur memberi nilai prediksi.
- Machine learning: similarity measure, contohnya cosine similarity = (uv) / (|u||v|), yang mengukur kemiripan arah dua vektor data.
- Geometri: menentukan sudut antara dua garis atau bidang.
Contoh Soal dan Penyelesaian
Penyelesaian:
1. Hitung produk skalar:
uv = 3(1) + (2)(4) + 5(2) = 3 8 + 10 = 1.
2. Hitung panjang masingmasing vektor:
|u| = (3 + (2) + 5) = (9 + 4 + 25) = 38.
|v| = ((1) + 4 + 2) = (1 + 16 + 4) = 21.
3. Gunakan rumus cos = (uv)/(|u||v|):
cos = (1)/(3821) 1 / 28.3 0.0353.
= arccos(0.0353) 92.0 .
Jadi sudutnya hampir tegak lurus.
Penyelesaian:
Kerja W = Fs = 104 + 03 + 00 = 40J.
Karena komponen gaya yang sejajar dengan perpindahan hanya 10N pada arah x, hasilnya 40J.
Penyelesaian:
AB = 21 + 10 + 01 + 34 = 2 + 0 + 0 + 12 = 14.
|A| = (2+1+0+3) = (4+1+0+9)=14.
|B| = (1+0+1+4) = (1+0+1+16)=18.
Cosine similarity = 14 / (1418) = 14 / 252 14 / 15.87 0.882.
Nilai mendekati 1 menandakan kedua dokumen sangat mirip.
