Dot Product (scalar Product) dan Link Download File Referensi
https://eu2.contabostorage.com/00f3241116844f24b628f46d81abb929:st1/folder8/8009/1656354181_aljabar_linear_pdf___Matematika.pdf
2026-05-31 13:09:04 - Admin
<style> body{ font-family: Arial, sans-serif; line-height: 1.6; margin:0; padding:0; background:#f9f9f9; color:#333; } header{ background:#4CAF50; color:#fff; padding:20px 10%; } header h1{ margin:0; } nav{ background:#e2e2e2; padding:10px 10%; } nav a{ margin-right:15px; color:#333; text-decoration:none; font-weight:bold; } main{ max-width:800px; margin:20px auto; padding:0 10%; } h2{ color:#4CAF50; margin-top:30px; } .formula{ background:#fff; border-left:4px solid #4CAF50; padding:10px 15px; margin:15px 0; font-family:"Courier New", Courier, monospace; } table{ width:100%; border-collapse:collapse; margin:20px 0; } th, td{ border:1px solid #ddd; padding:8px; text-align:center; } th{ background:#f2f2f2; } .example{ background:#eef9ff; border-left:4px solid #2196F3; padding:10px 15px; margin:15px 0; } footer{ text-align:center; padding:20px; font-size:0.9em; color:#777; } </style><header> <h1>Produk Skalar (Dot Product)</h1></header><nav> <a href="#definisi">Definisi</a> <a href="#rumus">Rumus</a> <a href="#sifat">Sifatsifat</a> <a href="#aplikasi">Aplikasi</a> <a href="#contoh">Contoh Soal</a></nav><main> <section id="definisi"> <h2>Apa Itu Produk Skalar?</h2> <p>Produk skalar, yang sering disebut <em>dot product</em> atau <em>inner product</em>, adalah operasi aljabar pada dua vektor yang menghasilkan sebuah nilai skalar (bukan vektor). Operasi ini menggabungkan informasi panjang (magnitudo) masingmasing vektor dengan sudut di antara keduanya.</p> <p>Jika <strong>u</strong> dan <strong>v</strong> adalah dua vektor dalam ruang Euclidean tiga dimensi (atau dua dimensi), maka produk skalarnya didefinisikan sebagai:</p> <div class="formula"> <strong>uv = |u| |v| cos</strong> </div> <p>di mana <em></em> ialah sudut antara <strong>u</strong> dan <strong>v</strong>, <em>|u|</em> dan <em>|v|</em> adalah panjang (norma) masingmasing vektor.</p> </section> <section id="rumus"> <h2>Rumus Komponen</h2> <p>Jika vektor dituliskan dalam bentuk komponen, misalnya</p> <div class="formula"> u = (u, u, u)v = (v, v, v) </div> <p>maka produk skalar dapat dihitung dengan menambahkan hasil perkalian komponenkomponennya:</p> <div class="formula"> uv = uv + uv + uv </div> <p>Untuk ruang dua dimensi rumusnya menjadi <strong>uv = uv + uv</strong>. Bentuk ini sangat berguna dalam perhitungan komputer karena tidak memerlukan sudut secara eksplisit.</p> <h3>Hubungan dengan Panjang Vektor</h3> <p>Jika <strong>v = u</strong>, maka</p> <div class="formula"> uu = |u| </div> <p>sehingga panjang vektor dapat diperoleh dengan akar kuadrat dari produk skalar dirinya:</p> <div class="formula"> |u| = (uu) </div> </section> <section id="sifat"> <h2>Sifatsifat Produk Skalar</h2> <table> <tr><th>Sifat</th><th>Deskripsi</th></tr> <tr><td>Komutatif</td><td>uv = vu</td></tr> <tr><td>Distributif terhadap penjumlahan</td><td>u(v + w) = uv + uw</td></tr> <tr><td>Linier terhadap perkalian skalar</td><td>(cu)v = c(uv) = u(cv)</td></tr> <tr><td>Positif definit</td><td>uu 0, dan uu = 0 hanya jika u = 0</td></tr> </table> <p>Sifatsifat ini menjadikan produk skalar sebagai contoh yang paling sederhana dari sebuah <em>inner product space</em>.</p> </section> <section id="aplikasi"> <h2>Aplikasi Produk Skalar</h2> <p>Produk skalar muncul di hampir semua bidang yang memanfaatkan vektor. Berikut beberapa contoh penggunaan nyata:</p> <ul> <li><strong>Fisika:</strong> menghitung kerja (work) sebuah gaya <em>F</em> yang bekerja sepanjang perpindahan <em>s</em> dengan rumus W = Fs.</li> <li><strong>Grafika komputer:</strong> menentukan apakah dua permukaan saling menghadap (backface culling) dengan memeriksa tanda dot product antara normal permukaan dan vektor pandangan.</li> <li><strong>Statistika:</strong> dalam regresi linier, perkalian dot antara vektor koefisien dan vektor fitur memberi nilai prediksi.</li> <li><strong>Machine learning:</strong> similarity measure, contohnya cosine similarity = (uv) / (|u||v|), yang mengukur kemiripan arah dua vektor data.</li> <li><strong>Geometri:</strong> menentukan sudut antara dua garis atau bidang.</li> </ul> </section> <section id="contoh"> <h2>Contoh Soal dan Penyelesaian</h2> <div class="example"> <strong>Soal 1:</strong> Diberikan <em>u = (3, 2, 5)</em> dan <em>v = (1, 4, 2)</em>. Hitung <em>uv</em> serta sudut antara keduanya. <br><br> <strong>Penyelesaian:</strong><br> 1. Hitung produk skalar: <br> uv = 3(1) + (2)(4) + 5(2) = 3 8 + 10 = 1. <br><br> 2. Hitung panjang masingmasing vektor: <br> |u| = (3 + (2) + 5) = (9 + 4 + 25) = 38. <br> |v| = ((1) + 4 + 2) = (1 + 16 + 4) = 21. <br><br> 3. Gunakan rumus cos = (uv)/(|u||v|): <br> cos = (1)/(3821) 1 / 28.3 0.0353. <br> = arccos(0.0353) 92.0 . <br> Jadi sudutnya hampir tegak lurus. </div> <div class="example"> <strong>Soal 2 (Aplikasi Fisika):</strong> Sebuah gaya <em>F = (10, 0, 0)N</em> bekerja pada sebuah benda yang bergerak sepanjang vektor perpindahan <em>s = (4, 3, 0)m</em>. Berapakah kerja yang dilakukan gaya tersebut? <br><br> <strong>Penyelesaian:</strong><br> Kerja W = Fs = 104 + 03 + 00 = 40J. <br> Karena komponen gaya yang sejajar dengan perpindahan hanya 10N pada arah x, hasilnya 40J. </div> <div class="example"> <strong>Soal 3 (Cosine Similarity):</strong> Dua dokumen direpresentasikan oleh vektor kata <em>A = (2,1,0,3)</em> dan <em>B = (1,0,1,4)</em>. Hitung cosine similaritynya. <br><br> <strong>Penyelesaian:</strong><br> AB = 21 + 10 + 01 + 34 = 2 + 0 + 0 + 12 = 14. <br> |A| = (2+1+0+3) = (4+1+0+9)=14. <br> |B| = (1+0+1+4) = (1+0+1+16)=18. <br> Cosine similarity = 14 / (1418) = 14 / 252 14 / 15.87 0.882. <br> Nilai mendekati 1 menandakan kedua dokumen sangat mirip. </div> </section></main>