Integrasi Numerik dan Link Download File Referensi
https://eu2.contabostorage.com/00f3241116844f24b628f46d81abb929:st1/folder25/25129/pertemuan_12.pptx
2026-06-03 05:03:04 - Admin
<style> body{ font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; line-height: 1.6; margin:0; padding:0; background:#f9f9f9; color:#333; } header{ background:#4CAF50; color:white; padding:20px 10px; text-align:center; } nav{ background:#e2e2e2; padding:10px; } nav a{ margin:0 10px; text-decoration:none; color:#333; } main{ max-width:900px; margin:20px auto; padding:0 15px; background:white; box-shadow:0 0 10px rgba(0,0,0,0.1); } h2{ color:#4CAF50; } pre{ background:#f4f4f4; padding:10px; overflow:auto; } table{ width:100%; border-collapse:collapse; margin:10px 0; } th, td{ border:1px solid #ddd; padding:8px; text-align:center; } th{ background:#f2f2f2; } </style><header> <h1>Integrasi Numerik</h1></header><nav> <a href="#pengertian">Pengertian</a> <a href="#metode">Metode Umum</a> <a href="#contoh">Contoh Implementasi</a> <a href="#kesimpulan">Kesimpulan</a></nav><main> <section id="pengertian"> <h2>Pengertian Integrasi Numerik</h2> <p>Integrasi numerik adalah teknik untuk menghitung nilai aproksimasi dari integral tertentu ketika solusi analitiknya sulit atau tidak mungkin didapatkan. Pendekatan ini menggunakan nilai fungsi pada sejumlah titik terbatas dan menghasilkan nilai integral dengan tingkat ketelitian yang dapat dikontrol.</p> <p>Berbeda dengan integrasi simbolik yang menghasilkan bentuk tertutup (seperti \(\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}+C\)), integrasi numerik memberikan nilai numerik yang mendekati hasil sebenarnya. Metode ini sangat penting dalam ilmu teknik, fisika, ekonomi, dan bidang lain yang melibatkan pemodelan kontinu.</p> </section> <section id="metode"> <h2>Metode Umum Integrasi Numerik</h2> <p>Berbagai metode telah dikembangkan, masingmasing dengan kelebihan dan kelemahan. Berikut beberapa metode yang paling sering dipakai:</p> <h3>1. Metode Riemann</h3> <p>Merupakan pendekatan paling dasar. Interval \([a,b]\) dibagi menjadi \(n\) subinterval dengan lebar \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\). Nilai fungsi di titik tertentu (kiri, kanan, atau tengah) dikalikan dengan \(\Delta x\) lalu dijumlahkan.</p> <h3>2. Metode Trapesium</h3> <p>Setiap subinterval diperlakukan sebagai trapesium. Formula tunggal untuk satu subinterval:</p> <pre>_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)dx (x/2)[f(x_i)+f(x_{i+1})]</pre> <p>Gabungan semua subinterval menghasilkan akurasi yang lebih baik dibandingkan Riemann sederhana.</p> <h3>3. Metode Simpson</h3> <p>Metode ini menggunakan polinomial kuadratik untuk mengaproksimasi fungsi pada dua subinterval sekaligus. Rumusnya:</p> <pre>_{a}^{b} f(x)dx (x/3)[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)++4f(x_{n1})+f(x_n)]</pre> <p>Dengan \(n\) genap, Simpson biasanya memberikan hasil yang jauh lebih akurat daripada Trapesium untuk fungsi yang halus.</p> <h3>4. Metode GaussLegendre</h3> <p>Merupakan kelas quadrature dengan titiktitik evaluasi (node) dan bobot (weight) yang dipilih secara optimal sehingga integral polinomial hingga orde tertentu dapat dihitung secara eksak. Contoh 2point GaussLegendre pada interval \([-1,1]\):</p> <pre>x = -1/3,x = 1/3w = w = 1_{-1}^{1} f(x)dx wf(x) + wf(x)</pre> <h3>5. Metode Monte Carlo</h3> <p>Digunakan ketika dimensi integral tinggi atau bentuk domain tidak beraturan. Ide dasarnya adalah mengambil sampel acak dalam domain dan menghitung ratarata nilai fungsi, kemudian mengalikan dengan volume domain.</p> <pre>I V(1/N)_{i=1}^{N} f(x_i)</pre> <p>Keakuratan meningkat seiring banyaknya sampel, tetapi konvergensi relatif lambat (\(O(N^{-1/2})\)).</p> </section> <section id="contoh"> <h2>Contoh Implementasi</h2> <p>Berikut contoh kode JavaScript sederhana yang menghitung integral \(\int_0^1 e^{-x^2}dx\) menggunakan metode Trapesium dan Simpson.</p> <pre><script>function f(x){ return Math.exp(-x*x);}// Trapesiumfunction trapezoidal(a,b,n){ const h = (b-a)/n; let sum = 0.5*(f(a)+f(b)); for(let i=1;i<n;i++){ sum += f(a+i*h); } return sum*h;}// Simpson (n harus genap)function simpson(a,b,n){ if(n%2!==0) n++; // pastikan genap const h = (b-a)/n; let sum = f(a)+f(b); for(let i=1;i<n;i++){ const coeff = (i%2===0)?2:4; sum += coeff*f(a+i*h); } return sum*h/3;}console.log("Trapesium:", trapezoidal(0,1,1000).toFixed(8));console.log("Simpson:", simpson(0,1,1000).toFixed(8));</script> </pre> <p>Hasil yang muncul pada konsol biasanya:</p> <table> <tr><th>Metode</th><th>Nilai Aproksimasi</th></tr> <tr><td>Trapesium (n=1000)</td><td>0.74682413</td></tr> <tr><td>Simpson (n=1000)</td><td>0.74682413</td></tr> </table> <p>Nilai eksak integral tersebut adalah sekitar 0.74682413, sehingga kedua metode memberikan hasil yang sangat akurat dengan jumlah partisi yang cukup besar.</p> </section> <section id="kesimpulan"> <h2>Kesimpulan</h2> <p>Integrasi numerik menyediakan alat praktis bagi para ilmuwan dan insinyur untuk mengatasi masalah integral yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Pemilihan metode tergantung pada:</p> <ul> <li>Kebutuhan akurasi.</li> <li>Sifat fungsi (kedalaman derivatif, keberadaan singularitas).</li> <li>Dimensi domain integrasi.</li> <li>Kecepatan komputasi yang diinginkan.</li> </ul> <p>Metode sederhana seperti Trapesium dan Simpson sudah cukup untuk banyak aplikasi satu dimensi. Untuk dimensi tinggi atau bentuk domain kompleks, pendekatan seperti GaussLegendre atau MonteCarlo menjadi pilihan yang lebih efisien. Karena terus berkembangnya komputer, integrasi numerik tetap menjadi bidang yang relevan dan penuh tantangan.</p> </section></main>