Metode Binomial
Metode binomial adalah teknik numerik yang digunakan untuk menghitung nilai opsi serta instrumen keuangan lain yang bersifat derivatif. Pendekatan ini pertama kali diperkenalkan oleh Cox, Ross, dan Rubinstein pada tahun 1979. Ide dasarnya ialah memodelkan pergerakan harga sebuah aset sebagai proses stokastik yang dapat bergerak ke atas atau ke bawah dalam tiap periode waktu yang diskret.
Prinsip Dasar
Dalam model binomial, waktu dibagi menjadi n interval yang sama panjang. Pada setiap interval, harga aset dapat naik dengan faktor u atau turun dengan faktor d. Probabilitas terjadinya kenaikan disebut p, sementara penurunan memiliki probabilitas 1p. Dengan memanfaatkan prinsip noarbitrage, faktorfaktor ini dapat ditentukan sehingga model mencerminkan tingkat pengembalian yang diharapkan sesuai dengan tingkat bebas risiko r.
Rumus Utama
- Faktor naik (u): \(u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}\)
- Faktor turun (d): \(d = e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}} = \frac{1}{u}\)
- Probabilitas naik (p): \(p = \frac{e^{r\Delta t} - d}{u - d}\)
- Probabilitas turun (1p): \(1-p\)
di mana \(\sigma\) adalah volatilitas tahunan aset, dan \(\Delta t = T/n\) adalah panjang satu langkah waktu (dengan T total sampai jatuh tempo).
LangkahLangkah Penerapan
- Tentukan parameter: harga spot S, strike K, volatilitas \(\sigma\), suku bunga bebas risiko r, waktu sampai jatuh tempo T, dan jumlah langkah n.
- Hitung faktor u, d, dan probabilitas p.
- Bangun struktur pohon harga. Harga pada node kei (dengan i kenaikan) adalah \(S_{i}=S_{0}u^{i}d^{n-i}\).
- Hitung nilai opsi pada node terminal. Untuk opsi call: \(C_{n,i}= \max (S_{i}-K,0)\); untuk put: \(P_{n,i}= \max (K-S_{i},0)\).
- Backtrack (backward induction). Mulai dari periode terakhir dan mundur ke periode 0 dengan rumus nilai ekspektasi terdiskonto: \(V_{j,i}=e^{-r\Delta t}\big(p\,V_{j+1,i+1}+(1-p)\,V_{j+1,i}\big)\).
- Jika opsi memiliki fitur Amerika, bandingkan nilai ekspektasi dengan nilai exercise pada masingmasing node dan pilih yang lebih tinggi.
Contoh Perhitungan
Data: S = 100, K = 100, = 30% per tahun, r = 5% per tahun, T = 1tahun, n = 3.
Langkah pertama: \(\Delta t = 1/3\) tahun.
u = e^{0.30(1/3)} 1.197, d = 1/u 0.836, p = (e^{0.05/3} d)/(ud) 0.543.
Harga pada node-terminal:
| Kenaikan | Harga | Payoff Call |
|---|---|---|
| 3 | 100u 171.5 | 71.5 |
| 2 | 100ud 1001.1970.836 119.3 | 19.3 |
| 1 | 100ud 83.6 | 0 |
| 0 | 100d 58.5 | 0 |
Backtrack ke periode 2:
- Node (2,2): \(e^{-0.05/3}[p71.5+(1-p)19.3] 46.4\)
- Node (2,1): \(e^{-0.05/3}[p19.3+(1-p)0] 10.0\)
- Node (2,0): \(e^{-0.05/3}[p0+(1-p)0] = 0\)
Terus mundur sampai ke nilai awal, didapatkan nilai call 10.5.
Keunggulan dan Keterbatasan
Keunggulan:
- Flexibel untuk opsi Amerika, bermacammacam payoff, atau dividend yang dibayarkan secara diskret.
- Implementasi sederhana, terutama pada komputer dengan bahasa pemrograman umum.
- Dapat menambah jumlah langkah n untuk meningkatkan akurasi, mendekati model BlackScholes ketika n .
Keterbatasan:
- Kompleksitas komputasi meningkat secara eksponensial bila n sangat besar (meski teknik seperti biner tree atau trinomial dapat mengurangi beban).
- Asumsi volatilitas konstan dan distribusi lognormal pada tiap langkah dapat tidak mencerminkan kondisi pasar nyata.
- Model tidak menangani perubahan mendadak parameter (misalnya volatilitas menurun drastis) tanpa rekalkulasi ulang.
Aplikasi Praktis
Metode binomial banyak dipakai dalam:
- Penilaian opsi saham, indeks, dan mata uang.
- Perhitungan nilai convertible bonds dan warrant.
- Analisis strategi kombinasi opsi (spread, butterfly, straddle).
- Simulasi sensitivitas (Greek) seperti delta, gamma, dan vega dengan mengubah parameter input.
Implementasi Singkat dengan JavaScript
Berikut contoh kode singkat yang dapat ditempatkan dalam tag