Model Binomial Dua Periode

Model binomial dua periode (twoperiod binomial model) merupakan salah satu kerangka kerja paling dasar dalam penetapan harga opsi pada keuangan. Model ini mengasumsikan bahwa harga aset dasar (underlying asset) dapat bergerak ke atas atau ke bawah pada setiap periode waktu, dan hanya ada dua periode sebelum jatuh tempo. Meskipun sederhana, model ini memberikan pemahaman yang kuat tentang bagaimana nilai intrinsik dan nilai waktu opsi terbentuk serta bagaimana teknik hedging dapat diterapkan.

Prinsip Dasar

Dalam model binomial, pada setiap titik waktu, harga saham dapat berubah menjadi satu dari dua nilai:

• U Faktor kenaikan, sehingga harga menjadi SU.
• D Faktor penurunan, sehingga harga menjadi SD dengan D = 1/U (biasanya).

Dengan dua periode, pohon harga akan memiliki tiga tingkat harga akhir: SUU, SUD, dan SDD. Karena UD = DU, nilai tengah pada akhir periode kedua (setelah satu kali naik dan satu kali turun) akan sama, sehingga jumlah simpul akhir yang berbeda hanya tiga.

LangkahLangkah Penyelesaian

1. Tentukan parameter: Harga saham saat ini S, tingkat bunga bebas risiko r, volatilitas tahunan , dan lama tiap periode t. Dari sini dapat dihitung U = e^{t} dan D = e^{-t}.
2. Hitung probabilitas risikonetral:
   p = \frac{e^{rt} - D}{U - D},
   q = 1-p.
3. Buat pohon harga: Kembangkan tiga simpul pada akhir periode kedua.
4. Nilai opsi pada akhir periode: Untuk opsi call Eropa, nilai akhir adalah max(S_T - K, 0); untuk put, max(K - S_T, 0).
5. Retrograde (backward induction): Diskontokan nilai ekspektasi risikonetral ke periode sebelumnya:
   C_{i,j} = e^{-rt}[pC_{i+1,j+1} + qC_{i+1,j}].
6. Jika opsi Amerika: Bandingkan nilai yang didapatkan dengan nilai exercise pada tiap simpul dan pilih yang lebih tinggi.

Contoh Numerik

Andaikan :

• Harga saham saat ini S = 100
• Strike price K = 100
• Tingkat bunga bebas risiko tahunan r = 5%
• Volatilitas = 30%
• Waktu total hingga jatuh tempo 1 tahun, sehingga t = 0,5 tahun per periode.

Maka:

• U = e^{0.300.5} 1.236
• D = e^{-0.300.5} 0.809
• p = \frac{e^{0.050.5} - 0.809}{1.236 - 0.809} 0.576

Retrograde ke periode pertama:

• Node (1,0) (setelah naik pertama):
  C = e^{-0.050.5}[p52.9 + q0] 0.975(0.57652.9) 29.8
• Node (1,1) (setelah turun pertama):
  C = e^{-0.050.5}[p0 + q0] = 0

Terakhir, nilai pada waktu 0:

C = e^{-0.050.5}[p29.8 + q0] 0.975(0.57629.8) 16.7

Jadi, harga call Eropa dengan dua periode adalah sekitar **USD16,7**.

Keunggulan dan Batasan

Keunggulan

• Sederhana, cocok untuk pendidikan dan ilustrasi konsep dasar.
• Fleksibel untuk menambahkan dividend, perubahan volatilitas, atau suku bunga yang berbeda antar periode.
• Dapat diperluas menjadi model binomial banyak periode (CRR, JarrowRudd, dll.) yang konvergen ke model BlackScholes.

Batasan

• Model dua periode terlalu kasar untuk instrumen keuangan yang sensitif terhadap path.
• Asumsi bahwa hanya ada dua kemungkinan pergerakan harga di setiap periode sering tidak mencerminkan realitas pasar.
• Ketepatan harga tergantung pada pilihan U, D, p yang kadang bersifat adhoc.

Aplikasi Praktis

Walaupun model dua periode tidak dipakai secara langsung dalam perdagangan, ia berguna dalam:

• Mengajarkan teknik hedging deltaneutral pada mahasiswa keuangan.
• Menguji algoritma pricing pada software yang akan dipakai untuk model binomial berribuan simpul.
• Analisis sensitivitas (Greek) sederhana, misalnya menghitung Delta dengan (C_{up}C_{down})/(S_{up}S_{down}).

Kesimpulan

Model binomial dua periode memberikan gambaran yang jelas tentang bagaimana nilai opsi dapat dibangun secara rekursif dari akhir ke awal. Dengan menyesuaikan parameter U, D, p, serta menambahkan fitur seperti dividen atau opsi Amerika, model ini menjadi batu loncatan penting menuju model binomial yang lebih kompleks dan akhirnya ke model BlackScholes yang kontinu.

Untuk eksplorasi lebih lanjut, pembaca dapat memperluas jumlah periode, membandingkan hasil dengan formulasi BlackScholes, atau mengimplementasikan algoritma dalam bahasa pemrograman seperti Python atau JavaScript.