Metode NewtonRaphson

Metode NewtonRaphson (atau hanya Newton) merupakan teknik iteratif yang digunakan untuk mencari akar persamaan tak linier berupa f(x)=0. Metode ini termasuk dalam kategori metode titik tetap dan memanfaatkan turunan pertama fungsi untuk mempercepat konvergensi.

Prinsip Dasar

Jika pada titik x nilai fungsi f(x) tidak nol, maka melalui titik itu dapat digambarkan garis singgung dengan gradien f'(x). Titik potong garis singgung tersebut dengan sumbux menjadi perkiraan akar berikutnya, yaitu x. Secara matematis:

x = x - f(x) / f'(x)

Proses ini diulang sampai selisih antara dua iterasi berurutan berada di bawah toleransi yang diinginkan (|x - x| < ) atau nilai fungsi di titik tersebut cukup kecil (|f(x)| < ).

Algoritma Umum

1. Pilih nilai awal x (tepat atau mendekati akar).
2. Hitung f(x) dan f'(x).
3. Jika f'(x) = 0, metode gagal; pilih nilai awal lain.
4. Hitung x = x - f(x)/f'(x).
5. Jika |x - x| < atau |f(x)| < , berhenti; nilai x adalah akar.
6. Jika tidak, set x x dan kembali ke langkah 2.

Keunggulan

• Konvergensi cepat: Jika nilai awal cukup dekat dengan akar dan fungsi halus, laju konvergensi bersifat kuadratik.
• Implementasi sederhana: Hanya memerlukan satu fungsi dan turunannya.
• Efisien untuk banyak persamaan: Dapat diadaptasi menjadi metode vektor (Newton multivariat).

Keterbatasan

• Memerlukan turunan pertama yang dapat dihitung secara analitis atau numerik.
• Jika nilai awal jauh dari akar, iterasi dapat divergen atau ke akar yang tidak diinginkan.
• Jika f'(x) mendekati nol, langkah selanjutnya menjadi sangat besar (instabil).
• Metode tidak dapat menjamin menemukan semua akar; biasanya hanya menemukan satu akar terdekat dengan nilai awal.

Contoh Penggunaan

Misalkan ingin menemukan akar persamaan f(x) = x - x - 2 = 0.

1. Fungsi: f(x) = x - x - 2
2. Turunan: f'(x) = 3x - 1
3. Pilih nilai awal x = 1.5.

Iterasi 1:    x = 1.5    f(x) = 1.5 - 1.5 - 2 = -0.125    f'(x) = 31.5 - 1 = 5.75    x = 1.5 - (-0.125)/5.75  1.5217Iterasi 2:    f(x)  0.0021    f'(x)  5.95    x = 1.5217 - 0.0021/5.95  1.5214

Setelah beberapa iterasi, nilai x 1.52138 memenuhi |f(x)| < 10, sehingga merupakan akar yang diinginkan.

Strategi Memilih Nilai Awal

• Gunakan grafik fungsi untuk memperkirakan interval di mana tanda fungsi berubah.
• Jika fungsi bersifat polinomial, faktorfaktor sederhana atau aturan Descartes dapat memberi petunjuk.
• Metode lain seperti bisection atau regulafalsi dapat memberikan nilai awal yang lebih baik untuk Newton.

Modifikasi dan Variasi

• Metode NewtonRaphson termodifikasi menambahkan faktor peredam (damping) untuk mencegah langkah terlalu besar.
• NewtonRaphson ganda menggunakan turunan kedua untuk meningkatkan kecepatan konvergensi pada kasus khusus.
• Jika turunan tidak tersedia, metode sekant menggunakan perkiraan diferensial berbasis dua titik sebelumnya.

Implementasi dalam JavaScript

function newtonRaphson(f, df, x0, tol = 1e-7, maxIter = 100) {    let x = x0;    for (let i = 0; i < maxIter; i++) {        const fx = f(x);        const dfx = df(x);        if (Math.abs(dfx) < 1e-12) throw new Error('Turunan mendekati nol');        const xNext = x - fx / dfx;        if (Math.abs(xNext - x) < tol) return xNext;        x = xNext;    }    throw new Error('Tidak konvergen dalam iterasi maksimum');}// Contoh penggunaan:const f = x => Math.pow(x, 3) - x - 2;const df = x => 3 * x * x - 1;console.log(newtonRaphson(f, df, 1.5)); //  1.52138

Kesimpulan

Metode NewtonRaphson adalah alat kuat untuk menyelesaikan persamaan nonlinier bila turunan pertama dapat dihitung dan nilai awal dipilih dengan tepat. Dengan konvergensi kuadratik, metode ini biasanya lebih cepat daripada teknik iteratif linier seperti bisection. Namun, pengguna harus memperhatikan kondisi turunan dan penempatan nilai awal agar hasil yang diperoleh valid dan stabil.