Pengantar mengenai definisi, sifat, metode, dan aplikasi transformasi Laplace dalam analisis sistem. Transformasi Laplace adalah sebuah integral transform yang mengubah fungsi waktu Hasilnya berupa representasi dalam domain frekuensi kompleks yang memudahkan analisis sistem linear, khususnya yang melibatkan persamaan diferensial konstan-koefisien. Soal: Selesaikan persamaan diferensial linear dengan kondisi awal Gunakan sifat derivatif: Transformasi ruas kanan: Sederhanakan: Sehingga Faktor penyebut pertama: Pecah masingmasing: Setelah menghitung (misalnya dengan metode substitusi), didapat: Gunakan tabel: Maka Gabungkan suku yang sejenis: Jawaban akhir memenuhi kondisi awal yang diberikan. Transformasi Laplace banyak dipakai dalam berbagai bidang teknik dan ilmu terapan, antara lain:Transformasi Laplace
1. Definisi Transformasi Laplace
f(t) (dengan t 0) menjadi fungsi kompleks F(s) dengan variabel s = + j. Bentuk umum transformasinya diberikan olehF(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt2. Sifatsifat Penting
\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\}=aF(s)+bG(s)\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0^{-})\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0^{-})-\dots-f^{(n-1)}(0^{-})\mathcal{L}\{\int_{0}^{t} f(\tau)d\tau\}= \frac{F(s)}{s}\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}F(s), dengan u(t) fungsi langkah Heaviside.\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)\mathcal{L}\{f(t)*g(t)\}=F(s)G(s)3. Tabel Transformasi Laplace yang Sering Dipakai
f(t) F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} 1 1/s t^{n} (n\ge0) n!/s^{n+1} e^{at} 1/(s-a) \sin(bt) b/(s^{2}+b^{2}) \cos(bt) s/(s^{2}+b^{2}) e^{at}\sin(bt) b/[(s-a)^{2}+b^{2}] e^{at}\cos(bt) (s-a)/[(s-a)^{2}+b^{2}] u(t-a) e^{-as}/s te^{at} 1/(s-a)^{2} 4. Contoh Penyelesaian Persamaan Diferensial
y''+3y'+2y = 4e^{-t}, \;\; y(0)=1,\; y'(0)=0Langkah 1 Transformasi Laplace
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^{2}Y(s)-s\mathcal{L}\{3y'\}=3[sY(s)-y(0)]=3[sY(s)-1]\mathcal{L}\{2y\}=2Y(s)\mathcal{L}\{4e^{-t}\}=4/(s+1).Langkah 2 Susun Persamaan di Domain s
(s^{2}Y - s) + 3(sY -1) + 2Y = 4/(s+1) (s^{2}+3s+2)Y(s) - (s+3) = 4/(s+1)Y(s)=\frac{4}{(s+1)(s^{2}+3s+2)}+\frac{s+3}{s^{2}+3s+2}Langkah 3 Pecah Pecahan Parsial
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2). MakaY(s)=\frac{4}{(s+1)^{2}(s+2)}+\frac{s+3}{(s+1)(s+2)} \frac{4}{(s+1)^{2}(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{(s+1)^{2}} + \frac{C}{s+2}\frac{s+3}{(s+1)(s+2)} = \frac{D}{s+1} + \frac{E}{s+2} A=2, \; B=2, \; C=-2, \; D=1, \; E=2Langkah 4 Invers Laplace
\frac{1}{s+1} \rightarrow e^{-t}\frac{1}{(s+1)^{2}} \rightarrow t e^{-t}\frac{1}{s+2} \rightarrow e^{-2t}y(t)= (2e^{-t}+2t e^{-t}-2e^{-2t}) + (e^{-t}+2e^{-2t})y(t)=3e^{-t}+2t e^{-t}5. Aplikasi Transformasi Laplace
G(s) untuk perancangan regulator PID.6. Referensi
