Transformasi Linear dan Link Download File Referensi
https://eu2.contabostorage.com/00f3241116844f24b628f46d81abb929:st1/folder4/4462/jmuser_file_1643511872_6e069b940f50351215e39716cb10f355.pptx
2026-05-30 11:10:11 - Admin
<style> body{ font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; line-height: 1.6; margin:0; padding:0; background:#f9f9f9; color:#333; } header{ background:#4a90e2; color:#fff; padding:20px 10%; } header h1{ margin:0; font-size:2em; } nav{ background:#e2e8f0; padding:10px 10%; } nav a{ margin-right:15px; color:#2c3e50; text-decoration:none; font-weight:bold; } main{ padding:20px 10%; max-width:900px; margin:auto; } section{ margin-bottom:30px; } h2{ color:#2c3e50; border-bottom:2px solid #4a90e2; padding-bottom:5px; } table{ width:100%; border-collapse:collapse; margin-top:10px; } th, td{ border:1px solid #ccc; padding:8px; text-align:center; } th{ background:#d9edf7; } code{ background:#eee; padding:2px 4px; border-radius:3px; } .example{ background:#f0f8ff; border-left:4px solid #4a90e2; padding:12px; margin:15px 0; } </style><header> <h1>Transformasi Linear</h1></header><nav> <a href="#definisi">Definisi</a> <a href="#ciri">Ciri-ciri</a> <a href="#contoh">Contoh</a> <a href="#aplikasi">Aplikasi</a> <a href="#referensi">Referensi</a></nav><main> <section id="definisi"> <h2>Definisi Transformasi Linear</h2> <p>Transformasi linear (atau pemetaan linear) adalah fungsi antara dua ruang vektor yang memenuhi dua sifat utama:</p> <ol> <li><strong>Preservasi penjumlahan:</strong> untuk setiap vektor <code>u</code> dan <code>v</code>, <code>T(u+v) = T(u) + T(v)</code>.</li> <li><strong>Preservasi perkalian skalar:</strong> untuk setiap skalar <code>c</code> dan vektor <code>v</code>, <code>T(cv) = cT(v)</code>.</li> </ol> <p>Jika <code>T: V W</code> adalah transformasi linear, maka secara otomatis <code>T(0_V) = 0_W</code>. Karena sifatsifat di atas, transformasi linear dapat dipahami sepenuhnya melalui gambarannya pada sebuah basis ruang asal.</p> </section> <section id="ciri"> <h2>Ciri-ciri Transformasi Linear</h2> <p>Berikut beberapa karakteristik penting yang membedakan transformasi linear dari fungsi umum:</p> <ul> <li><strong>Homogenitas:</strong> memelihara skalar.</li> <li><strong>Additivitas:</strong> memelihara operasi penjumlahan.</li> <li><strong>Kernel (Inti):</strong> himpunan semua vektor <code>v</code> dengan <code>T(v)=0</code>. Kernel selalu merupakan subruang dari domain.</li> <li><strong>Image (Citra):</strong> himpunan semua nilai yang dapat dicapai oleh <code>T</code>. Image juga merupakan subruang, kali ini dari kodomain.</li> <li><strong>Rumus Matriks:</strong> bila <code>V</code> dan <code>W</code> berukuran hingga, setiap transformasi linear dapat direpresentasikan oleh sebuah matriks <code>A</code> sehingga <code>T(v)=Av</code>.</li> </ul> <p>Dengan memanfaatkan sifat-sifat tersebut, analisis transformasi linear menjadi lebih sederhana, terutama ketika kita berbicara soal dimensi, rangka, atau invers.</p> </section> <section id="contoh"> <h2>Contoh Transformasi Linear</h2> <div class="example"> <strong>Contoh 1 Rotasi 2dimensi.</strong><br> Rotasi pada bidang dengan sudut <code></code> dapat dituliskan sebagai: <pre><code>T(x, y) = (xcos ysin, xsin + ycos)</code></pre> Matriksnya: <table> <tr><th></th><th>Kolom 1</th><th>Kolom 2</th></tr> <tr><th>Baris 1</th><td>cos</td><td>-sin</td></tr> <tr><th>Baris 2</th><td>sin</td><td>cos</td></tr> </table> Karena <code>T(u+v)=T(u)+T(v)</code> dan <code>T(cu)=cT(u)</code>, rotasi adalah transformasi linear. </div> <div class="example"> <strong>Contoh 2 Proyeksi ke sumbu x.</strong><br> <code>T(x, y, z) = (x, 0, 0)</code>.<br> Matriks proyeksi: <table> <tr><th></th><th>1</th><th>2</th><th>3</th></tr> <tr><th>1</th><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr> <tr><th>2</th><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr> <tr><th>3</th><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr> </table> </div> <div class="example"> <strong>Contoh 3 Diferensiasi pada ruang polinomial.</strong><br> Pada <code>P_n</code> (ruang polinomial berdimensi <code>n+1</code>), operator <code>D(p)=p'</code> adalah linear karena turunan memenuhi <code>(p+q)'=p'+q'</code> dan <code>(cp)'=cp'</code>. </div> </section> <section id="aplikasi"> <h2>Aplikasi Transformasi Linear</h2> <p>Transformasi linear bukan sekadar konsep teoritis; ia menjadi fondasi bagi banyak bidang praktis:</p> <ul> <li><strong>Grafik komputer:</strong> scaling, rotasi, dan shearing semua diimplementasikan sebagai transformasi linear pada vektor koordinat.</li> <li><strong>Pengolahan sinyal:</strong> filter FIR dapat dilihat sebagai transformasi linear pada vektor sampel.</li> <li><strong>Machine learning:</strong> lapisan utama jaringan saraf (dense layer) melakukan perkalian matriks, yaitu transformasi linear, sebelum diterapkan fungsi aktivasi.</li> <li><strong>Fisika:</strong> hukum superposisi dalam mekanika kuantum dan elektromagnetik memanfaatkan sifat linearitas.</li> <li><strong>Statistika:</strong> analisis komponen utama (PCA) memproyeksikan data ke subruang melalui transformasi linear yang memaksimalkan variansi.</li> </ul> </section> <section id="referensi"> <h2>Referensi</h2> <ol> <li>Axler, Sheldon. <em>Linear Algebra Done Right</em>. Springer, 2015.</li> <li>Strang, Gilbert. <em>Introduction to Linear Algebra</em>. WellesleyCambridge Press, 2022.</li> <li>Lay, David C. <em>Linear Algebra and Its Applications</em>. Pearson, 2021.</li> <li>Wikipedia contributors. Linear transformation. Wikipedia, The Free Encyclopedia.</li> </ol> </section></main>