Volume Benda Putar

Dalam kalkulus, benda putar (solid of revolution) adalah benda tiga dimensi yang terbentuk ketika sebuah kurva pada bidang dua dimensi diputar mengelilingi sebuah sumbu. Menentukan volume benda ini merupakan salah satu aplikasi penting dari integral tak tentu.

Konsep Dasar

Jika sebuah fungsi kontinu y = f(x) berada di antara dua batas a dan b, dan kita memutar kurva tersebut mengelilingi sumbux, maka setiap penampang melintang pada x menghasilkan sebuah lingkaran dengan jarijari |f(x)|. Luas penampangnya adalah [f(x)]. Menjumlahkan semua penampang dari a sampai b menghasilkan integral:

V =  ab [f(x)] dx

Jika rotasi dilakukan mengelilingi sumbuy, atau jika terdapat lubang di tengahnya, rumusnya sedikit berubah. Dua metode utama yang dipakai adalah metode cakram (disk), metode cincin (washer), dan metode selubung silinder (cylindrical shells).

Metode Cakram (Disk)

Metode ini berlaku bila area yang diputar menempel langsung pada sumbu rotasi sehingga tidak ada ruang kosong di tengah.

• Rotasi mengelilingi sumbux:
  V = ab [R(x)] dx, dengan R(x) = jarak vertikal dari kurva ke sumbux.
• Rotasi mengelilingi sumbuy:
  V = cd [R(y)] dy, dengan R(y) = jarak horizontal dari kurva ke sumbuy.

Metode Cincin (Washer)

Jika daerah yang diputar memiliki lubang (misalnya antara dua kurva), tiap penampang menjadi sebuah cincin. Luas penampangnya adalah selisih luas lingkaran luar dan lingkaran dalam.

V =   [R(x)]  [r(x)] dx

di mana R(x) adalah jarijari luar dan r(x) jarijari dalam.

Metode Selubung Silinder (Cylindrical Shells)

Metode ini berguna bila fungsi lebih mudah diekspresikan dalam variabel yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi.

V = 2  (radius)(height) dx   (rotasi mengelilingi sumbuy)V = 2  (radius)(height) dy   (rotasi mengelilingi sumbux)

Radius adalah jarak dari sumbu rotasi, sementara height adalah nilai fungsi pada titik tersebut.

Contoh 1 Rotasi Cakram

Hitung volume benda yang terbentuk ketika kurva y = x diputar mengelilingi sumbux pada interval 0 x 4.

V =  04 (x) dx  =  04 x dx  =  [ x]  =  (16) = 8

Jadi, volume = 8 satuan.

Contoh 2 Rotasi Cincin

Diberikan dua fungsi y = x dan y = 4. Tentukan volume benda yang terbentuk ketika daerah di antara kedua kurva diputar mengelilingi sumbux.

R(x) = 4,    r(x) = x,   batas: 0  x  2V =  02 (4)  (x) dx  =  02 (16  x) dx  =  [16x  (1/5)x]  =  [32  (32/5)] = (128/5) = 25.6

Contoh 3 Metode Selubung Silinder

Hitung volume benda yang dibentuk oleh memutar daerah yang dibatasi y = x dan y = x di antara x = 0 dan x = 1 mengelilingi sumbuy.

Shell radius = xShell height = y_top  y_bottom = x  xV = 2 01 x (x  x) dx  = 2 01 (x  x) dx  = 2 [ (1/3)x  (1/4)x ]  = 2 (1/3  1/4) = 2 (1/12) = /6

Tips Memilih Metode

Referensi Tambahan

• James Stewart, Calculus, edisi ke8, bab 6.
• Thomas Calculus, bab tentang integral tak tentu.
• Video pembelajaran Khan Academy tentang Volume of Solids of Revolution.