Volume Of Solid Generated By Revolving dan Link Download File Referensi

https://eu2.contabostorage.com/00f3241116844f24b628f46d81abb929:st1/folder8/8068/1656357781_kalkulus_1_soal_latihan___Matematika.pdf

2026-05-31 18:01:03 - Admin

<style> body{ font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; line-height: 1.6; margin:0; padding:20px; background-color:#f9f9f9; color:#333; } h1, h2, h3{ color:#2c3e50; } .content{ max-width:800px; margin:auto; background:#fff; padding:30px; box-shadow:0 0 10px rgba(0,0,0,0.1); } pre{ background:#eef; padding:10px; overflow:auto; } table{ width:100%; border-collapse:collapse; margin:15px 0; } th, td{ border:1px solid #ccc; padding:8px; text-align:center; } .note{ background:#fffbcc; border-left:4px solid #ffeb3b; padding:10px; margin:15px 0; } </style><div class="content"><h1>Volume Benda Putar</h1><p>Dalam kalkulus, <strong>benda putar</strong> (solid of revolution) adalah benda tiga dimensi yang terbentuk ketika sebuah kurva pada bidang dua dimensi diputar mengelilingi sebuah sumbu. Menentukan volume benda ini merupakan salah satu aplikasi penting dari integral tak tentu.</p><h2>Konsep Dasar</h2><p>Jika sebuah fungsi kontinu <em>y = f(x)</em> berada di antara dua batas <em>a</em> dan <em>b</em>, dan kita memutar kurva tersebut mengelilingi sumbux, maka setiap penampang melintang pada <em>x</em> menghasilkan sebuah lingkaran dengan jarijari <em>|f(x)|</em>. Luas penampangnya adalah <em>[f(x)]</em>. Menjumlahkan semua penampang dari <em>a</em> sampai <em>b</em> menghasilkan integral:</p><pre>V = _a^b [f(x)] dx</pre><p>Jika rotasi dilakukan mengelilingi sumbuy, atau jika terdapat lubang di tengahnya, rumusnya sedikit berubah. Dua metode utama yang dipakai adalah <strong>metode cakram (disk)</strong>, <strong>metode cincin (washer)</strong>, dan <strong>metode selubung silinder (cylindrical shells)</strong>.</p><h2>Metode Cakram (Disk)</h2><p>Metode ini berlaku bila area yang diputar menempel langsung pada sumbu rotasi sehingga tidak ada ruang kosong di tengah.</p><ul><li>Rotasi mengelilingi sumbux: <br><code>V = _a^b [R(x)] dx</code>, dengan <em>R(x)</em> = jarak vertikal dari kurva ke sumbux.</li><li>Rotasi mengelilingi sumbuy: <br><code>V = _c^d [R(y)] dy</code>, dengan <em>R(y)</em> = jarak horizontal dari kurva ke sumbuy.</li></ul><h2>Metode Cincin (Washer)</h2><p>Jika daerah yang diputar memiliki lubang (misalnya antara dua kurva), tiap penampang menjadi sebuah cincin. Luas penampangnya adalah selisih luas lingkaran luar dan lingkaran dalam.</p><pre>V = [R(x)] [r(x)] dx</pre><p>di mana <em>R(x)</em> adalah jarijari luar dan <em>r(x)</em> jarijari dalam.</p><h2>Metode Selubung Silinder (Cylindrical Shells)</h2><p>Metode ini berguna bila fungsi lebih mudah diekspresikan dalam variabel yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi.</p><pre>V = 2 (radius)(height) dx (rotasi mengelilingi sumbuy)V = 2 (radius)(height) dy (rotasi mengelilingi sumbux)</pre><p>Radius adalah jarak dari sumbu rotasi, sementara height adalah nilai fungsi pada titik tersebut.</p><h2>Contoh 1 Rotasi Cakram</h2><p>Hitung volume benda yang terbentuk ketika kurva <em>y = x</em> diputar mengelilingi sumbux pada interval <em>0 x 4</em>.</p><pre>V = ₀⁴ (x) dx = ₀⁴ x dx = [ x] = (16) = 8</pre><p>Jadi, volume = <strong>8 satuan</strong>.</p><h2>Contoh 2 Rotasi Cincin</h2><p>Diberikan dua fungsi <em>y = x</em> dan <em>y = 4</em>. Tentukan volume benda yang terbentuk ketika daerah di antara kedua kurva diputar mengelilingi sumbux.</p><pre>R(x) = 4, r(x) = x, batas: 0 x 2V = ₀² (4) (x) dx = ₀² (16 x) dx = [16x (1/5)x] = [32 (32/5)] = (128/5) = 25.6</pre><h2>Contoh 3 Metode Selubung Silinder</h2><p>Hitung volume benda yang dibentuk oleh memutar daerah yang dibatasi <em>y = x</em> dan <em>y = x</em> di antara <em>x = 0</em> dan <em>x = 1</em> mengelilingi sumbuy.</p><pre>Shell radius = xShell height = y_top y_bottom = x xV = 2 ₀¹ x (x x) dx = 2 ₀¹ (x x) dx = 2 [ (1/3)x (1/4)x ] = 2 (1/3 1/4) = 2 (1/12) = /6</pre><h2>Tips Memilih Metode</h2><table> <tr> <th>Situasi</th> <th>Metode Pilihan</th> <th>Alasan</th> </tr> <tr> <td>Daerah menempel pada sumbu rotasi</td> <td>Disk</td> <td>Penampang berbentuk lingkaran penuh.</td> </tr> <tr> <td>Ada ruang kosong di tengah (dua kurva)</td> <td>Washer</td> <td>Penampang menjadi cincin, memerlukan dua jarijari.</td> </tr> <tr> <td>Fungsi lebih mudah diintegrasikan dalam variabel tegak lurus terhadap sumbu</td> <td>Shell</td> <td>Integral menjadi lebih sederhana.</td> </tr></table><div class="note"> <strong>Catatan:</strong> Selalu periksa batas integrasi dengan menggambar daerah terlebih dahulu. Kesalahan dalam menentukan batas atau jarijari dapat menghasilkan volume yang salah.</div><h2>Referensi Tambahan</h2><ul> <li>James Stewart, Calculus, edisi ke8, bab 6.</li> <li>Thomas Calculus, bab tentang integral tak tentu.</li> <li>Video pembelajaran Khan Academy tentang Volume of Solids of Revolution.</li></ul></div>

Lebih banyak