Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic (GARCH)

Apa itu GARCH?

Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic (GARCH) adalah sebuah model statistik yang dirancang untuk menangkap volatilitas yang berubahubah (heteroskedastis) pada deret waktu. Model ini pertama kali diperkenalkan oleh Tim Bollerslev pada tahun 1986 sebagai generalisasi dari model ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedastic) yang dikembangkan oleh Engle pada 1982. GARCH banyak dipakai dalam bidang keuangan untuk memodelkan dan meramalkan perubahan varians atau volatilitas harga aset, suku bunga, nilai tukar, dan lainlain.

Motivasi Penggunaan GARCH

• Volatilitas bersifat clustering: Pada data keuangan, periode volatilitas tinggi biasanya diikuti oleh periode volatilitas tinggi lainnya, dan sebaliknya.
• Leptokurtosis: Distribusi return biasanya memiliki ekor yang lebih tebal daripada distribusi Normal.
• Timevarying risk: Risiko tidak konstan; investor membutuhkan perkiraan volatilitas yang dinamis.

Model ARCH(p)

Sebelum memahami GARCH, penting untuk mengetahui bentuk dasar ARCH(p):

\[ r_t = \mu + \varepsilon_t,\qquad \varepsilon_t = \sigma_t z_t,\qquad \sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{p}\alpha_i \varepsilon_{t-i}^{2} \]

Di sini \(z_t\) biasanya diasumsikan iid dengan distribusi standar Normal (atau distribusi lain seperti tStudent). Varians bersyarat \(\sigma_t^2\) tergantung pada kuadrat residual masa lalu.

Model GARCH(p,q)

Model GARCH menambahkan komponen autoregresif pada varians bersyarat, sehingga menjadi:

\[ \sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{p}\alpha_i \varepsilon_{t-i}^{2} + \sum_{j=1}^{q}\beta_j \sigma_{t-j}^{2} \]

Parameter yang harus dipenuhi:

• \(\alpha_0 > 0\)
• \(\alpha_i \ge 0,\; \beta_j \ge 0\)
• \(\sum_{i=1}^{p}\alpha_i + \sum_{j=1}^{q}\beta_j < 1\) (untuk kestabilan)

Jika \(p=1\) dan \(q=1\), model disebut GARCH(1,1) dan merupakan yang paling populer karena keseimbangan antara kesederhanaan dan kemampuan menyesuaikan data.

Estimasi Parameter

Parameter GARCH biasanya diestimasi lewat metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Prosesnya meliputi:

1. Menentukan fungsi loglikelihood, biasanya mengasumsikan \(z_t\) berdistribusi Normal atau tStudent.
2. Mengoptimalkan loglikelihood dengan algoritma numerik (BFGS, NewtonRaphson, atau algoritma turunan numerik).
3. Mengecek signifikansi koefisien dan nilai \(\text{AIC}/\text{BIC}\) untuk memilih model terbaik.

Variasi dan Ekstensi GARCH

Aplikasi Praktis GARCH

• Pengukuran Risiko: Menghitung ValueatRisk (VaR) dan Expected Shortfall (ES) yang memperhitungkan volatilitas yang berubahubah.
• Pricing Derivatif: Model volatilitas implisit dalam penentuan harga opsi (misalnya HestonGARCH hybrid).
• Strategi Trading: Menggunakan prediksi volatilitas untuk menentukan ukuran posisi atau melakukan tradeoverthecounter.
• Manajemen Portofolio: Memperbaharui estimasi kovarians dalam model meanvariance optimal ketika volatilitas berubah.

LangkahLangkah Implementasi GARCH (Python)

import pandas as pdimport numpy as npfrom arch import arch_model# 1. Load data (contoh: return harian)data = pd.read_csv('harga_saham.csv')data['return'] = 100 * data['Close'].pct_change().dropna()# 2. Fit GARCH(1,1)model = arch_model(data['return'].dropna(), p=1, q=1, mean='Constant', vol='GARCH', dist='normal')result = model.fit(update_freq=5)# 3. Tampilkan ringkasanprint(result.summary())# 4. Forecast volatilitas 5 hari ke depanforecast = result.forecast(horizon=5)print(forecast.variance[-1:])

Library arch menyediakan fungsi lengkap untuk estimasi, diagnostik, dan prediksi.

Diagnostik Model

Setelah estimasi, penting melakukan uji diagnostik:

• Residual standar: \(\hat{z}_t = \varepsilon_t/\hat{\sigma}_t\). Harus menyerupai i.i.d.
• LjungBox test pada \(\hat{z}_t^2\) untuk memastikan tidak ada autokorelasi lagi.
• ARCHLM test pada residual standar untuk memastikan tidak ada heteroskedastisitas tersisa.
• Plot ACF & PACF residual standar dan kuadrat residual.

Keterbatasan GARCH

• Asumsi distribusi residual (Normal/tStudent) belum tentu tepat pada data ekstrem.
• Model bersifat linier dalam varians; tidak selalu menangkap dinamika nonlinear yang kompleks.
• Jumlah parameter yang banyak pada multivariate GARCH dapat menyebabkan overfitting.
• Interpretasi koefisien menjadi lebih sulit ketika model dimodifikasi (EGARCH, GJRGARCH, dll.).

Kesimpulan

GARCH adalah kerangka kerja yang sangat berguna untuk memodelkan volatilitas yang berubahubah pada data keuangan. Dengan menambahkan komponen autoregresif pada varians bersyarat, GARCH dapat menangkap fenomena clustering volatilitas serta menyediakan prediksi yang relevan untuk manajemen risiko, penetapan harga derivatif, dan strategi perdagangan. Meskipun ada keterbatasan, varian-varian lanjutan (EGARCH, GJRGARCH, multivariate GARCH) memperluas kegunaan model ini dalam situasi yang lebih kompleks. Penggunaan software statistik modern (R, Python, MATLAB) membuat implementasi menjadi lebih mudah, sehingga GARCH tetap menjadi pilihan utama praktisi keuangan dan peneliti dalam menganalisis dinamika volatilitas.