Definisi
Persamaan Diferensial Parsial (PDE) adalah persamaan yang melibatkan turunan parsial dari suatu fungsi tak diketahui terhadap lebih dari satu variabel independen. Jika u = u(x, x, , x) adalah fungsi yang tidak diketahui, maka PDE umum dapat dituliskan sebagai
F(x, , x, u, u/x, , u/xx, ) = 0 PDE muncul secara alami dalam ilmu fisika, teknik, ekonomi, dan bidang lainnya karena banyak fenomena yang tergantung pada lebih dari satu dimensi ruang atau waktu.
Klasifikasi Utama PDE
Klasifikasi membantu memilih metode penyelesaian yang tepat. Tiga jenis utama:
- Eliptik: Tidak melibatkan variabel waktu secara eksplisit. Contoh klasiknya adalah Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson.
- Parabolik: Mengandung satu variabel waktu dan biasanya menggambarkan proses difusi. Contohnya Persamaan Panas (Heat Equation).
- Hipersbolik: Memiliki dua arah propagasi gelombang, misalnya Persamaan Gelombang.
Secara matematis, klasifikasi dapat ditentukan dari koefisien utama pada turunan orde dua dalam bentuk umum
A u + 2B u + C u + = 0 Dengan diskriminan D = B - AC. Jika D < 0 eliptik, D = 0 parabolik, D > 0 hipersbolik.
Aplikasi PDE dalam Kehidupan Seharihari
| Bidang | Contoh PDE | Deskripsi Singkat |
|---|---|---|
| Fisika | Persamaan Schrdinger | Deskripsikan perilaku partikel kuantum dalam ruang dan waktu. |
| Termodinamika | Persamaan Panas | Model penyebaran panas pada bahan padat. |
| Elektromagnetik | Persamaan Maxwell | Menjelaskan medan listrik dan magnetik yang berubah. |
| Teknik Sipil | Persamaan Elastisitas | Menganalisis regangan pada struktur. |
| Keuangan | Persamaan BlackScholes | Menilai harga opsi derivatif. |
Dengan memahami PDE, insinyur dapat merancang bangunan yang lebih aman, ilmuwan dapat memprediksi cuaca, dan ekonom dapat menilai risiko pasar.
Metode Penyelesaian PDE
PDE jarang memiliki solusi tertutup yang sederhana. Berikut beberapa pendekatan umum:
1. Metode Analitik
- Variabel Terpisah: Membagi fungsi menjadi perkalian fungsi satuvariabel, cocok untuk kondisi batas sederhana.
- Transformasi Integral: Fourier atau Laplace untuk mengubah PDE menjadi ODE.
- Metode Karakteristik: Digunakan pada PDE hipersbolik orde pertama.
2. Metode Numerik
- Finite Difference Method (FDM): Mengaproksimasi turunan dengan selisih hingga. Cocok untuk domain persegi panjang.
- Finite Element Method (FEM): Membagi domain menjadi elemen tak beraturan, ideal untuk geometri kompleks.
- Finite Volume Method (FVM): Menjaga konservasi aliran, sering dipakai dalam dinamika fluida.
3. Metode SemiAnalitik
Misalnya, metode perturbasi atau homogenisasi yang memberikan solusi aproksimatif berdasarkan parameter kecil.
Contoh Penyelesaian: Persamaan Panas 1Dimensi
Persamaan panas pada batang panjang dengan kondisi batas konstan dapat ditulis
u/t = u/x, 0 < x < L, t > 0 Dengan kondisi awal u(x,0)=f(x) dan batas tetap u(0,t)=u(L,t)=0. Menggunakan metode variabel terpisah, asumsikan u(x,t)=X(x)T(t). Substitusi memberi
1/ T'(t)/T(t) = X''(x)/X(x) = - Sehingga didapat dua ODE:
T'(t)+T(t)=0 T(t)=C e^{- t}X''(x)+ X(x)=0, X(0)=X(L)=0
Solusi eigenvalue memberi = (n/L) dan X(x)=sin(nx/L). Kombinasi semua mode menghasilkan
u(x,t)=_{n=1}^{} A sin\!\left(\frac{nx}{L}\right) e^{- (n/L) t} Koefisien A diperkirakan dari kondisi awal dengan deret Fourier:
A = \frac{2}{L} _0^L f(x) sin\!\left(\frac{nx}{L}\right) dx Ini mencontohkan bagaimana PDE dapat dipecahkan secara eksak bila kondisi sederhana.
