Definisi Transformasi Linear
Transformasi linear (atau pemetaan linear) adalah fungsi antara dua ruang vektor yang memenuhi dua sifat utama:
- Preservasi penjumlahan: untuk setiap vektor
udanv,T(u+v) = T(u) + T(v). - Preservasi perkalian skalar: untuk setiap skalar
cdan vektorv,T(cv) = cT(v).
Jika T: V W adalah transformasi linear, maka secara otomatis T(0_V) = 0_W. Karena sifatsifat di atas, transformasi linear dapat dipahami sepenuhnya melalui gambarannya pada sebuah basis ruang asal.
Ciri-ciri Transformasi Linear
Berikut beberapa karakteristik penting yang membedakan transformasi linear dari fungsi umum:
- Homogenitas: memelihara skalar.
- Additivitas: memelihara operasi penjumlahan.
- Kernel (Inti): himpunan semua vektor
vdenganT(v)=0. Kernel selalu merupakan subruang dari domain. - Image (Citra): himpunan semua nilai yang dapat dicapai oleh
T. Image juga merupakan subruang, kali ini dari kodomain. - Rumus Matriks: bila
VdanWberukuran hingga, setiap transformasi linear dapat direpresentasikan oleh sebuah matriksAsehinggaT(v)=Av.
Dengan memanfaatkan sifat-sifat tersebut, analisis transformasi linear menjadi lebih sederhana, terutama ketika kita berbicara soal dimensi, rangka, atau invers.
Contoh Transformasi Linear
Contoh 1 Rotasi 2dimensi.
Rotasi pada bidang dengan sudut
Karena
Rotasi pada bidang dengan sudut
T(x, y) = (xcos ysin, xsin + ycos)| Kolom 1 | Kolom 2 | |
|---|---|---|
| Baris 1 | cos | -sin |
| Baris 2 | sin | cos |
T(u+v)=T(u)+T(v) dan T(cu)=cT(u), rotasi adalah transformasi linear. Contoh 2 Proyeksi ke sumbu x.
Matriks proyeksi:
T(x, y, z) = (x, 0, 0).Matriks proyeksi:
| 1 | 2 | 3 | |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 0 | 0 |
Contoh 3 Diferensiasi pada ruang polinomial.
Pada
Pada
P_n (ruang polinomial berdimensi n+1), operator D(p)=p' adalah linear karena turunan memenuhi (p+q)'=p'+q' dan (cp)'=cp'. Aplikasi Transformasi Linear
Transformasi linear bukan sekadar konsep teoritis; ia menjadi fondasi bagi banyak bidang praktis:
- Grafik komputer: scaling, rotasi, dan shearing semua diimplementasikan sebagai transformasi linear pada vektor koordinat.
- Pengolahan sinyal: filter FIR dapat dilihat sebagai transformasi linear pada vektor sampel.
- Machine learning: lapisan utama jaringan saraf (dense layer) melakukan perkalian matriks, yaitu transformasi linear, sebelum diterapkan fungsi aktivasi.
- Fisika: hukum superposisi dalam mekanika kuantum dan elektromagnetik memanfaatkan sifat linearitas.
- Statistika: analisis komponen utama (PCA) memproyeksikan data ke subruang melalui transformasi linear yang memaksimalkan variansi.
Referensi
- Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. Springer, 2015.
- Strang, Gilbert. Introduction to Linear Algebra. WellesleyCambridge Press, 2022.
- Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications. Pearson, 2021.
- Wikipedia contributors. Linear transformation. Wikipedia, The Free Encyclopedia.
